$\sqrt{2}$ が無理数であることを利用して、$1 + 3\sqrt{2}$ が無理数であることを証明します。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$ が無理数であることを利用して、$1 + 3\sqrt{2}$ が無理数であることを証明します。

2. 解き方の手順

背理法を使って証明します。

まず、$1 + 3\sqrt{2}$ が有理数であると仮定します。

すると、$1 + 3\sqrt{2}$ は分数 $\frac{p}{q}$ (ただし、$p, q$ は整数、$q \neq 0$) で表すことができます。

$$1 + 3\sqrt{2} = \frac{p}{q}$$

この式を変形して $\sqrt{2}$ について解きます。

$$3\sqrt{2} = \frac{p}{q} - 1$$

$$3\sqrt{2} = \frac{p - q}{q}$$

$$\sqrt{2} = \frac{p - q}{3q}$$

ここで、$p$ と $q$ は整数なので、$p - q$ も整数であり、$3q$ も整数です。

したがって、$\frac{p - q}{3q}$ は有理数となります。

しかし、これは $\sqrt{2}$ が無理数であるという仮定に矛盾します。

なぜなら、$\sqrt{2}$ が無理数であるのに、有理数 $\frac{p - q}{3q}$ と等しいという結論になってしまったからです。

したがって、$1 + 3\sqrt{2}$ が有理数であるという仮定が誤りです。

よって、$1 + 3\sqrt{2}$ は無理数です。

3. 最終的な答え

$1 + 3\sqrt{2}$ は無理数である。