次の不定方程式を満たす整数解 $x, y$ の組を1つ求める。 (1) $42x + 29y = 2$ (2) $25x - 61y = 12$

1. 問題の内容

次の不定方程式を満たす整数解 $x, y$ の組を1つ求める。

(1) $42x + 29y = 2$

(2) $25x - 61y = 12$

2. 解き方の手順

(1) $42x + 29y = 2$ の場合：

まず、ユークリッドの互除法を用いて、42と29の最大公約数を求める。

$42 = 29 \cdot 1 + 13$

$29 = 13 \cdot 2 + 3$

$13 = 3 \cdot 4 + 1$

$3 = 1 \cdot 3 + 0$

よって、42と29の最大公約数は1である。

次に、上の計算を逆順にたどって、$42x + 29y = 1$ を満たす整数解を見つける。

$1 = 13 - 3 \cdot 4$

$1 = 13 - (29 - 13 \cdot 2) \cdot 4$

$1 = 13 - 29 \cdot 4 + 13 \cdot 8$

$1 = 13 \cdot 9 - 29 \cdot 4$

$1 = (42 - 29 \cdot 1) \cdot 9 - 29 \cdot 4$

$1 = 42 \cdot 9 - 29 \cdot 9 - 29 \cdot 4$

$1 = 42 \cdot 9 - 29 \cdot 13$

したがって、$42 \cdot 9 + 29 \cdot (-13) = 1$ となる。

この式を2倍すると、$42 \cdot 18 + 29 \cdot (-26) = 2$ となる。

よって、$x = 18$, $y = -26$ が一つの解である。

(2) $25x - 61y = 12$ の場合：

まず、ユークリッドの互除法を用いて、25と61の最大公約数を求める。

$61 = 25 \cdot 2 + 11$

$25 = 11 \cdot 2 + 3$

$11 = 3 \cdot 3 + 2$

$3 = 2 \cdot 1 + 1$

$2 = 1 \cdot 2 + 0$

よって、25と61の最大公約数は1である。

次に、上の計算を逆順にたどって、$25x - 61y = 1$ を満たす整数解を見つける。

$1 = 3 - 2 \cdot 1$

$1 = 3 - (11 - 3 \cdot 3) \cdot 1$

$1 = 3 - 11 + 3 \cdot 3$

$1 = 3 \cdot 4 - 11$

$1 = (25 - 11 \cdot 2) \cdot 4 - 11$

$1 = 25 \cdot 4 - 11 \cdot 8 - 11$

$1 = 25 \cdot 4 - 11 \cdot 9$

$1 = 25 \cdot 4 - (61 - 25 \cdot 2) \cdot 9$

$1 = 25 \cdot 4 - 61 \cdot 9 + 25 \cdot 18$

$1 = 25 \cdot 22 - 61 \cdot 9$

したがって、$25 \cdot 22 - 61 \cdot 9 = 1$ となる。

この式を12倍すると、$25 \cdot 264 - 61 \cdot 108 = 12$ となる。

よって、$x = 264$, $y = 108$ が一つの解である。

3. 最終的な答え

(1) $x = 18, y = -26$

(2) $x = 264, y = 108$