与えられた3次正方行列 $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \\ -1 & -2 & -2 \end{pmatrix}$ の2乗 $A^2$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた3次正方行列

$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \\ -1 & -2 & -2 \end{pmatrix}$

の2乗 $A^2$ を計算する。

2. 解き方の手順

行列の2乗 $A^2$ は $A \times A$ で計算される。つまり、行列 $A$ と行列 $A$ の積を計算する。行列の積の定義に従い、各成分を計算する。

$A^2 = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \\ -1 & -2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \\ -1 & -2 & -2 \end{pmatrix}$

$A^2$ の (1,1) 成分: $(-2) \times (-2) + 1 \times (-2) + 1 \times (-1) = 4 - 2 - 1 = 1$

$A^2$ の (1,2) 成分: $(-2) \times 1 + 1 \times 1 + 1 \times (-2) = -2 + 1 - 2 = -3$

$A^2$ の (1,3) 成分: $(-2) \times 1 + 1 \times 2 + 1 \times (-2) = -2 + 2 - 2 = -2$

$A^2$ の (2,1) 成分: $(-2) \times (-2) + 1 \times (-2) + 2 \times (-1) = 4 - 2 - 2 = 0$

$A^2$ の (2,2) 成分: $(-2) \times 1 + 1 \times 1 + 2 \times (-2) = -2 + 1 - 4 = -5$

$A^2$ の (2,3) 成分: $(-2) \times 1 + 1 \times 2 + 2 \times (-2) = -2 + 2 - 4 = -4$

$A^2$ の (3,1) 成分: $(-1) \times (-2) + (-2) \times (-2) + (-2) \times (-1) = 2 + 4 + 2 = 8$

$A^2$ の (3,2) 成分: $(-1) \times 1 + (-2) \times 1 + (-2) \times (-2) = -1 - 2 + 4 = 1$

$A^2$ の (3,3) 成分: $(-1) \times 1 + (-2) \times 2 + (-2) \times (-2) = -1 - 4 + 4 = -1$

3. 最終的な答え

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 \\ 0 & -5 & -4 \\ 8 & 1 & -1 \end{pmatrix}$