$a$を正の実数とする。$x \geq 0$のとき、$y = \frac{ax - 1}{a - x}$ がとりうる値の範囲を求めよ。

## 実力問題2

1. 問題の内容

$a$を正の実数とする。$x \geq 0$のとき、$y = \frac{ax - 1}{a - x}$ がとりうる値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{ax - 1}{a - x}$を変形する。

$y(a - x) = ax - 1$

$ay - xy = ax - 1$

$ax + xy = ay + 1$

$x(a + y) = ay + 1$

ここで、$a + y \neq 0$と仮定すると、

$x = \frac{ay + 1}{a + y}$

$x \geq 0$なので、$\frac{ay + 1}{a + y} \geq 0$が成り立つ。

$ay + 1 \geq 0$かつ$a + y > 0$ または $ay + 1 \leq 0$かつ$a + y < 0$

(i) $ay + 1 \geq 0$かつ$a + y > 0$のとき

$y \geq -\frac{1}{a}$かつ$y > -a$

(ii) $ay + 1 \leq 0$かつ$a + y < 0$のとき

$y \leq -\frac{1}{a}$かつ$y < -a$

$a > 0$なので、$-\frac{1}{a} > -a$のときと$-\frac{1}{a} < -a$のときで場合分けが必要。

(1) $a > 1$のとき、$a > -\frac{1}{a} > -a$なので、

(i)より、$y \geq -\frac{1}{a}$

(ii)より、$y < -a$

よって、$y < -a$または$y \geq -\frac{1}{a}$

(2) $a = 1$のとき、$y = \frac{x - 1}{1 - x}$。$x \neq 1$のとき、$y = -1$。$x = 1$は定義されない。

したがって、この場合、$y = -1$。

ただし、$x \geq 0$より、$x = \frac{y + 1}{1 + y}$なので、$y + 1 \neq 0$つまり$y \neq -1$。これは矛盾。

(3) $0 < a < 1$のとき、$a < -\frac{1}{a} < -a$なので、

(i)より、$y > -a$

(ii)より、$y \leq -\frac{1}{a}$

よって、$y \leq -\frac{1}{a}$または$y > -a$

$a + y = 0$のとき、$x(a + y) = ay + 1$が成り立たない。つまり、$0 = -a^2 + 1$となるが、$a \neq 1$である。

よって、$y$の範囲は、$y \leq -\frac{1}{a}$または$y > -a$となる。

3. 最終的な答え

$y \leq -\frac{1}{a}$または$y > -a$

## 実力問題3

1. 問題の内容

$y = 2x + \frac{8}{(x - 1)^2}$ ($x > 1$) の最小値とそのときの$x$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x - 1 = t$とおくと、$x = t + 1$ であり、$x > 1$ より $t > 0$。

$y = 2(t + 1) + \frac{8}{t^2} = 2t + 2 + \frac{8}{t^2} = 2t + \frac{4}{t^2} + \frac{4}{t^2} + 2$

相加相乗平均の関係より、

$2t + \frac{4}{t^2} + \frac{4}{t^2} \geq 3\sqrt[3]{2t \cdot \frac{4}{t^2} \cdot \frac{4}{t^2}} = 3\sqrt[3]{\frac{32}{t^3}}$

ただし、これは利用できないので、以下のように考える。

$y = 2t + \frac{8}{t^2} + 2 = t + t + \frac{8}{t^2} + 2 \geq 3\sqrt[3]{t \cdot t \cdot \frac{8}{t^2}} + 2 = 3\sqrt[3]{8} + 2 = 3 \cdot 2 + 2 = 8$

等号成立は、$t = \frac{8}{t^2}$ のとき。

$t^3 = 8$

$t = 2$

このとき、$x = t + 1 = 2 + 1 = 3$

$y = 2(3) + \frac{8}{(3 - 1)^2} = 6 + \frac{8}{4} = 6 + 2 = 8$

3. 最終的な答え

最小値は8で、そのときの$x$の値は3