与えられた式は $x^5 + \frac{1}{x^5}$ です。この式の値を求める問題だと考えられますが、条件が不足しています。$x + \frac{1}{x}$ の値が与えられている場合を考え、その値が $a$ であるとします。つまり、$x + \frac{1}{x} = a$とします。このとき、$x^5 + \frac{1}{x^5}$ を求めることを考えます。

1. 問題の内容

与えられた式は $x^5 + \frac{1}{x^5}$ です。この式の値を求める問題だと考えられますが、条件が不足しています。$x + \frac{1}{x}$ の値が与えられている場合を考え、その値が $a$ であるとします。つまり、$x + \frac{1}{x} = a$とします。このとき、$x^5 + \frac{1}{x^5}$ を求めることを考えます。

2. 解き方の手順

まず、$x + \frac{1}{x} = a$ から $x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求めます。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ であるので、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = a^2 - 2$

次に、$x^3 + \frac{1}{x^3}$ を求めます。

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x^2 \frac{1}{x} + 3x \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$

であるので、

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x}) = a^3 - 3a$

$x^5 + \frac{1}{x^5}$ を求めるには、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ と $x^3 + \frac{1}{x^3}$ を掛け合わせます。

$(x^2 + \frac{1}{x^2})(x^3 + \frac{1}{x^3}) = x^5 + \frac{x^2}{x^3} + \frac{x^3}{x^2} + \frac{1}{x^5} = x^5 + \frac{1}{x} + x + \frac{1}{x^5} = x^5 + \frac{1}{x^5} + (x + \frac{1}{x})$

したがって、

$x^5 + \frac{1}{x^5} = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x^3 + \frac{1}{x^3}) - (x + \frac{1}{x})$

$x^5 + \frac{1}{x^5} = (a^2 - 2)(a^3 - 3a) - a$

$x^5 + \frac{1}{x^5} = a^5 - 3a^3 - 2a^3 + 6a - a = a^5 - 5a^3 + 5a$

3. 最終的な答え

もし $x + \frac{1}{x} = a$ であれば、$x^5 + \frac{1}{x^5} = a^5 - 5a^3 + 5a$ となります。

条件が不足しているため、$x^5 + \frac{1}{x^5}$ の値は一意に定まりません。

もし、$x + \frac{1}{x}$の値が具体的に与えられていれば、上記の式に代入することで値を求めることができます。