(1) 関数 $f(x) = x^2 - 2kx + 1$ の最小値が -3 となるような正の数 $k$ の値を求める。 (2) 2次関数 $y = ax^2 + 2ax + a^2$ が最大値 6 をとるとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = x^2 - 2kx + 1$ の最小値が -3 となるような正の数 $k$ の値を求める。

(2) 2次関数 $y = ax^2 + 2ax + a^2$ が最大値 6 をとるとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた2次関数 $f(x) = x^2 - 2kx + 1$ を平方完成する。

$f(x) = (x-k)^2 -k^2 + 1$

この関数の最小値は $-k^2 + 1$ である。

問題文より、最小値は -3 なので、$-k^2 + 1 = -3$ となる。

これを解いて、$k^2 = 4$ を得る。

$k$ は正の数なので、$k = 2$ となる。

(2)

与えられた2次関数 $y = ax^2 + 2ax + a^2$ を変形する。

$y = a(x^2 + 2x) + a^2$

$y = a(x^2 + 2x + 1 - 1) + a^2$

$y = a((x+1)^2 - 1) + a^2$

$y = a(x+1)^2 - a + a^2$

最大値を持つためには、$a < 0$ である必要がある。

このとき、最大値は $-a + a^2$ となる。

問題文より、最大値は 6 なので、$-a + a^2 = 6$ となる。

これを解いて、$a^2 - a - 6 = 0$ を得る。

$(a-3)(a+2) = 0$

したがって、$a = 3$ または $a = -2$ となる。

$a < 0$ である必要があるので、$a = -2$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $k=2$

(2) $a=-2$