与えられた式の二重根号を外して簡単にする問題です。具体的には、以下の5つの式を計算します。 (1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{5-2\sqrt{6}}$ (3) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$ (4) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$ (5) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

1. 問題の内容

与えられた式の二重根号を外して簡単にする問題です。具体的には、以下の5つの式を計算します。

(1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$

(2) $\sqrt{5-2\sqrt{6}}$

(3) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$

(4) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$

(5) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

2. 解き方の手順

二重根号 $\sqrt{a\pm\sqrt{b}}$ を外すには、$\sqrt{a\pm 2\sqrt{c}}$ の形に変形し、$a=x+y$、 $c=xy$ となる $x$、$y$ を見つけます。

このとき、$\sqrt{a\pm 2\sqrt{c}} = \sqrt{x}\pm\sqrt{y}$ となります。

根号内がマイナスの場合は、$x > y$ となるように $x$、$y$ を選びます。

(1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ について

$4 = 3+1$, $3 = 3\times 1$ なので、$\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{3} + \sqrt{1} = \sqrt{3} + 1$

(2) $\sqrt{5-2\sqrt{6}}$ について

$5 = 3+2$, $6 = 3\times 2$ なので、$\sqrt{5-2\sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

(3) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$ について

$\sqrt{9+\sqrt{56}} = \sqrt{9+2\sqrt{14}}$ と変形します。

$9 = 7+2$, $14 = 7\times 2$ なので、$\sqrt{9+2\sqrt{14}} = \sqrt{7} + \sqrt{2}$

(4) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$ について

$\sqrt{11-6\sqrt{2}} = \sqrt{11-2\sqrt{18}}$ と変形します。

$11 = 9+2$, $18 = 9\times 2$ なので、$\sqrt{11-2\sqrt{18}} = \sqrt{9} - \sqrt{2} = 3 - \sqrt{2}$

(5) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$ について

$\sqrt{4-\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{8-2\sqrt{15}}{2}} = \frac{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}$ と変形します。

$8 = 5+3$, $15 = 5\times 3$ なので、$\sqrt{8-2\sqrt{15}} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$

したがって、$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3} + 1$

(2) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

(3) $\sqrt{7} + \sqrt{2}$

(4) $3 - \sqrt{2}$

(5) $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$