全体集合$U$があり、$n(U) = 50$、 $n(A \cup B) = 42$、 $n(A \cap \bar{B}) = 3$、 $n(\bar{A} \cap B) = 15$であるとき、以下の集合の要素の個数を求めます。 (1) $A \cap \bar{B}$ (2) $\bar{A} \cap B$ (3) $A$

1. 問題の内容

全体集合$U$があり、$n(U) = 50$、 $n(A \cup B) = 42$、 $n(A \cap \bar{B}) = 3$、 $n(\bar{A} \cap B) = 15$であるとき、以下の集合の要素の個数を求めます。

(1) $A \cap \bar{B}$

(2) $\bar{A} \cap B$

(3) $A$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap \bar{B}$ について

問題文より、$n(A \cap \bar{B}) = 3$ です。

(2) $\bar{A} \cap B$ について

問題文より、$n(\bar{A} \cap B) = 15$ です。

(3) $A$ について

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$という公式を使います。

また、$n(A) = n(A \cap \bar{B}) + n(A \cap B)$ および $n(B) = n(\bar{A} \cap B) + n(A \cap B)$ が成り立ちます。

さらに、$n(A \cup B) = n(A \cap \bar{B}) + n(\bar{A} \cap B) + n(A \cap B)$も成り立ちます。

ここで、$n(A \cup B) = 42$、 $n(A \cap \bar{B}) = 3$、 $n(\bar{A} \cap B) = 15$ を代入すると、

$42 = 3 + 15 + n(A \cap B)$

$n(A \cap B) = 42 - 3 - 15 = 24$

したがって、$n(A \cap B) = 24$ です。

$n(A) = n(A \cap \bar{B}) + n(A \cap B) = 3 + 24 = 27$

したがって、$n(A) = 27$ です。

3. 最終的な答え

(1) $n(A \cap \bar{B}) = 3$

(2) $n(\bar{A} \cap B) = 15$

(3) $n(A) = 27$