与えられた分数 $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$ を計算し、分母に根号がない形に変形する問題です。

1. 問題の内容

与えられた分数 $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$ を計算し、分母に根号がない形に変形する問題です。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行います。分母の $\sqrt{2}-1$ に対して、$\sqrt{2}+1$ を掛けると$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = 2 - 1 = 1$ となり、根号が消えます。そこで、分子と分母に$\sqrt{2}+1$を掛けます。

$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$

分子を展開します。

$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1) = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} + 1 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$

分母を展開します。

$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$

したがって、

$\frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{3+2\sqrt{2}}{1} = 3 + 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$3 + 2\sqrt{2}$