正方形のタイル30枚が長方形の枠内に隙間なく並べられている時、縦に並んでいるタイルの枚数は何枚か。 ア: 横に並んでいる枚数は6の倍数ではない。 イ: 縦に並んでいる枚数は2の倍数ではない。 アとイの情報のうち、どちらがあれば縦の枚数がわかるかをA~Eから選ぶ。

1. 問題の内容

正方形のタイル30枚が長方形の枠内に隙間なく並べられている時、縦に並んでいるタイルの枚数は何枚か。

ア: 横に並んでいる枚数は6の倍数ではない。

イ: 縦に並んでいる枚数は2の倍数ではない。

アとイの情報のうち、どちらがあれば縦の枚数がわかるかをA~Eから選ぶ。

2. 解き方の手順

まず、30枚のタイルを並べる方法を考えます。縦と横の枚数をそれぞれ $a$ と $b$ とすると、$a \times b = 30$ となります。

30の約数の組み合わせは以下の通りです。

(1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6), (6, 5), (10, 3), (15, 2), (30, 1)

アの情報から、横に並んでいる枚数($b$)は6の倍数ではないので、$b$ は6, 30 はありえません。したがって、ありうる組み合わせは以下の通りです。

(1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6), (6, 5), (10, 3), (15, 2), (30, 1)

(2, 15), (3, 10), (5, 6), (10, 3), (15, 2)

イの情報から、縦に並んでいる枚数($a$)は2の倍数ではないので、$a$ は2, 6, 10, 30 はありえません。したがって、ありうる組み合わせは以下の通りです。

(1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6), (6, 5), (10, 3), (15, 2), (30, 1)

(1, 30), (3, 10), (5, 6), (15, 2)

アの情報だけでは、縦の枚数は 2, 3, 5, 10, 15 の可能性があります。

イの情報だけでは、縦の枚数は 1, 3, 5, 15 の可能性があります。

アとイの両方の情報を使うと、

アより、横の枚数($b$)は6の倍数ではない。

イより、縦の枚数($a$)は2の倍数ではない。

$a \times b = 30$を満たす組み合わせで、$a$ が2の倍数でなく、$b$ が6の倍数でないものを探します。

組み合わせは以下の通りです。

(1,30), (2,15), (3,10), (5,6), (6,5), (10,3), (15,2), (30,1)

アの情報から、横の枚数(b)が6の倍数でないのは、(2,15), (3,10), (5,6), (10,3), (15,2)

イの情報から、縦の枚数(a)が2の倍数でないのは、(1,30), (3,10), (5,6), (15,2)

共通しているのは、(3,10), (5,6), (15,2) ではない

つまり、アとイの情報だけでは、(3,10), (5,6), (15,2) の中から縦の枚数を特定できない。

$a \times b = 30$ であり、$a$ は 2 の倍数でなく、$b$ は 6 の倍数でない組み合わせは

(3, 10), (5, 6), (15, 2) の３パターンである。

なので、縦に並んでいる枚数は、3, 5, 15 のいずれかとなり、一意に決まらない。

アだけでも、イだけでも、どちらか一方だけでは縦の枚数が特定できない。

アとイの両方を使っても縦の枚数を特定できない。

3. 最終的な答え

E