与えられた数式 $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}+2}$ を計算し、最も簡単な形で表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた数式 $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}+2}$ を計算し、最も簡単な形で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化します。分母の $\sqrt{6}+2$ に対して、$\sqrt{6}-2$ を掛けると、$(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2) = (\sqrt{6})^2 - 2^2 = 6-4 = 2$ となり、有理化できます。

分子と分母に $\sqrt{6}-2$ を掛けます。

$$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}+2} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{6}-2)}{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)}$$

分子を計算します。

$2\sqrt{3}(\sqrt{6}-2) = 2\sqrt{3}\sqrt{6} - 2\sqrt{3}(2) = 2\sqrt{18} - 4\sqrt{3} = 2\sqrt{9 \cdot 2} - 4\sqrt{3} = 2(3\sqrt{2}) - 4\sqrt{3} = 6\sqrt{2} - 4\sqrt{3}$

分母を計算します。

$(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2) = (\sqrt{6})^2 - 2^2 = 6-4 = 2$

したがって、

$$\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{6}-2)}{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)} = \frac{6\sqrt{2}-4\sqrt{3}}{2}$$

分子を2で割ります。

$$\frac{6\sqrt{2}-4\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} - \frac{4\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$$

3. 最終的な答え

$3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$