2つのサイコロを投げたときの出た目の和の確率分布が一部与えられています。与えられた表を完成させ、出た目の和の期待値を求める問題です。

1. 問題の内容

2つのサイコロを投げたときの出た目の和の確率分布が一部与えられています。与えられた表を完成させ、出た目の和の期待値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、表を完成させます。サイコロの目の和が $i$ となる確率を $P(i)$ とすると、

$P(2) = \frac{1}{36}$

$P(3) = \frac{2}{36}$

$P(4) = \frac{3}{36}$

$P(5) = \frac{4}{36}$

$P(6) = \frac{5}{36}$

$P(7) = \frac{6}{36}$

$P(8) = \frac{5}{36}$

$P(9) = \frac{4}{36}$

$P(10) = \frac{3}{36}$

$P(11) = \frac{2}{36}$

$P(12) = \frac{1}{36}$

これらの確率の合計は、

$\frac{1}{36} + \frac{2}{36} + \frac{3}{36} + \frac{4}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{36} + \frac{5}{36} + \frac{4}{36} + \frac{3}{36} + \frac{2}{36} + \frac{1}{36} = \frac{36}{36} = 1$

したがって、表は次のようになります。

| 和 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |

|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|

| 確率 | $\frac{1}{36}$ | $\frac{2}{36}$ | $\frac{3}{36}$ | $\frac{4}{36}$ | $\frac{5}{36}$ | $\frac{6}{36}$ | $\frac{5}{36}$ | $\frac{4}{36}$ | $\frac{3}{36}$ | $\frac{2}{36}$ | $\frac{1}{36}$ |

次に、期待値を計算します。期待値は、各目の和とその確率の積の合計です。

期待値を $E$ とすると、

$E = 2 \cdot \frac{1}{36} + 3 \cdot \frac{2}{36} + 4 \cdot \frac{3}{36} + 5 \cdot \frac{4}{36} + 6 \cdot \frac{5}{36} + 7 \cdot \frac{6}{36} + 8 \cdot \frac{5}{36} + 9 \cdot \frac{4}{36} + 10 \cdot \frac{3}{36} + 11 \cdot \frac{2}{36} + 12 \cdot \frac{1}{36}$

$E = \frac{2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12}{36}$

$E = \frac{252}{36}$

$E = 7$

3. 最終的な答え

7