実質所得 $Y=1$ を得る消費者の効用関数が $U(c_1, c_2) = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln c_2$ で与えられている。効用最大化問題 $$ \max_{c_1, c_2, s} U(c_1, c_2) $$ 制約条件 $Y = c_1 + s$ および $(1+r)s = c_2$ の下で、現在の消費 $c_1$ を求める。

1. 問題の内容

実質所得 $Y=1$ を得る消費者の効用関数が $U(c_1, c_2) = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln c_2$ で与えられている。効用最大化問題

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\max_{c_1, c_2, s} U(c_1, c_2)

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制約条件 $Y = c_1 + s$ および $(1+r)s = c_2$ の下で、現在の消費 $c_1$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、制約条件から $s = Y - c_1$ および $c_2 = (1+r)s = (1+r)(Y - c_1)$ が得られる。これらを効用関数に代入して、$c_1$ のみの関数にする。$Y=1$を代入すると、$c_2 = (1+r)(1 - c_1)$となる。

したがって、最大化問題は

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\max_{c_1} U(c_1) = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln((1+r)(1-c_1))

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となる。この関数を $c_1$ で微分して0とおく。

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\frac{dU}{dc_1} = \frac{0.7}{c_1} + \frac{0.3}{ (1+r)(1-c_1)} \cdot (-(1+r)) = \frac{0.7}{c_1} - \frac{0.3}{1-c_1} = 0

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これを解くと、

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\frac{0.7}{c_1} = \frac{0.3}{1-c_1}

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0.7(1-c_1) = 0.3 c_1

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0.7 - 0.7 c_1 = 0.3 c_1

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0.7 = c_1

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したがって、$c_1 = 0.7$ となる。

3. 最終的な答え

現在の消費 $c_1$ は $0.7$ である。