実質所得 $Y=1$ を得る消費者の効用関数が $U(c_1, c_2) = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln c_2$ のとき、以下の効用最大化問題を解き、現在の消費 $c_1$ はいくらになるかを求める。 $$ \max_{c_1, c_2, s} U(c_1, c_2) $$ 制約条件は $$ Y = c_1 + s $$ $$ (1+r)s = c_2 $$

1. 問題の内容

実質所得 $Y=1$ を得る消費者の効用関数が $U(c_1, c_2) = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln c_2$ のとき、以下の効用最大化問題を解き、現在の消費 $c_1$ はいくらになるかを求める。

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\max_{c_1, c_2, s} U(c_1, c_2)

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制約条件は

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Y = c_1 + s

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(1+r)s = c_2

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2. 解き方の手順

まず、制約条件から $s$ を消去します。$s = c_2/(1+r)$ を $Y = c_1 + s$ に代入すると、

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Y = c_1 + \frac{c_2}{1+r}

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となります。問題文より $Y=1$ なので、

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1 = c_1 + \frac{c_2}{1+r}

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したがって、$c_2 = (1-c_1)(1+r)$ です。

この結果を効用関数に代入すると、

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U(c_1) = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln ((1-c_1)(1+r))

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効用を最大化するために、$c_1$ で微分して0とおきます。

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\frac{dU}{dc_1} = \frac{0.7}{c_1} + \frac{0.3}{ (1-c_1)(1+r)} \cdot (-1)(1+r) = 0

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\frac{0.7}{c_1} - \frac{0.3}{1-c_1} = 0

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\frac{0.7}{c_1} = \frac{0.3}{1-c_1}

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0.7(1-c_1) = 0.3c_1

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0.7 - 0.7c_1 = 0.3c_1

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0.7 = c_1

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3. 最終的な答え

したがって、現在の消費 $c_1$ は $0.7$ です。

現在の消費 $c_1$: 0.7