速度に比例する空気抵抗を受けるボールを投げ上げた場合を考え、ボールが最高到達点に達する時刻 $T_m$ を、ボールの質量 $m$、比例定数 $\lambda$、初速度 $V_0$、重力加速度 $g$ で表した式が与えられています。その式は、$T_m = m^A \lambda^B \log(C + m^D \lambda^E V_0^F g^G)$ です。ここで、$A, B, C, D, E, F, G$ は整数です。整数 $A$ の値を求めよという問題です。

1. 問題の内容

速度に比例する空気抵抗を受けるボールを投げ上げた場合を考え、ボールが最高到達点に達する時刻 $T_m$ を、ボールの質量 $m$、比例定数 $\lambda$、初速度 $V_0$、重力加速度 $g$ で表した式が与えられています。その式は、$T_m = m^A \lambda^B \log(C + m^D \lambda^E V_0^F g^G)$ です。ここで、$A, B, C, D, E, F, G$ は整数です。整数 $A$ の値を求めよという問題です。

2. 解き方の手順

まず、単位を考えます。

$T_m$ の単位は時間 $[s]$ です。

$m$ の単位は質量 $[kg]$ です。

$\lambda$ の単位は比例定数なので、運動方程式 $m \frac{dv}{dt} = -mg - \lambda v$ より、$\lambda$ の単位は $[kg/s]$ です。

$V_0$ の単位は速度 $[m/s]$ です。

$g$ の単位は加速度 $[m/s^2]$ です。

与えられた式 $T_m = m^A \lambda^B \log(C + m^D \lambda^E V_0^F g^G)$ について、それぞれの項の単位を考えると、

$[s] = [kg]^A [kg/s]^B \log(C + [kg]^D [kg/s]^E [m/s]^F [m/s^2]^G)$ となります。

対数の中身は無次元でなければならないため、$m^D \lambda^E V_0^F g^G$ は無次元です。

したがって、$[kg]^D [kg/s]^E [m/s]^F [m/s^2]^G = [1]$ なので、

$[kg]^{D+E} [m]^{F+G} [s]^{-E-F-2G} = [1]$ となります。

よって、

$D+E = 0$

$F+G = 0$

$-E-F-2G = 0$

この連立方程式から、$E = -D, F = -G, -E+G-2G = 0 \implies E+G = 0 \implies -D+G = 0 \implies G=D$

したがって、$F = -D, E = -D, G = D$ となります。

$C$ も無次元なので、$C$ は定数です。

時刻 $T_m$ の次元は $[s]$ であり、$T_m = m^A \lambda^B \log(C + m^D \lambda^{-D} V_0^{-D} g^D)$ です。

最高到達点では、速度は0になります。運動方程式は $m \frac{dv}{dt} = -mg - \lambda v$ です。

これを解くと、

$v(t) = (V_0 + \frac{mg}{\lambda})e^{-\frac{\lambda}{m}t} - \frac{mg}{\lambda}$ となります。

最高到達点に達する時刻 $T_m$ では、$v(T_m) = 0$ なので、

$(V_0 + \frac{mg}{\lambda})e^{-\frac{\lambda}{m}T_m} = \frac{mg}{\lambda}$

$e^{-\frac{\lambda}{m}T_m} = \frac{mg}{\lambda V_0 + mg}$

$-\frac{\lambda}{m}T_m = \log(\frac{mg}{\lambda V_0 + mg})$

$T_m = -\frac{m}{\lambda} \log(\frac{mg}{\lambda V_0 + mg}) = \frac{m}{\lambda} \log(\frac{\lambda V_0 + mg}{mg}) = \frac{m}{\lambda} \log(1+\frac{\lambda V_0}{mg})$

$T_m = \frac{m}{\lambda} \log(1+\frac{\lambda V_0}{mg})$

与えられた式と比較すると、

$T_m = m^A \lambda^B \log(C + m^D \lambda^E V_0^F g^G)$

なので、

$A = 1, B = -1, C = 1, D = 1, E = -1, F = 1, G = -1$

3. 最終的な答え

A = 1