実質所得 $Y = 1$ を得る消費者の効用関数が $U(c_1, c_2) = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln c_2$ であるとき、以下の効用最大化問題を解き、現在の消費 $c_1$ がいくらになるかを求める。 $$ \max_{c_1, c_2, s} U(c_1, c_2) $$ 制約条件: $$ Y = c_1 + s $$ $$ (1 + r)s = c_2 $$

1. 問題の内容

実質所得 $Y = 1$ を得る消費者の効用関数が $U(c_1, c_2) = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln c_2$ であるとき、以下の効用最大化問題を解き、現在の消費 $c_1$ がいくらになるかを求める。

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\max_{c_1, c_2, s} U(c_1, c_2)

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制約条件:

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Y = c_1 + s

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(1 + r)s = c_2

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2. 解き方の手順

まず、制約条件を効用関数に代入して、変数を減らす。$Y=1$を代入する。

$s = 1 - c_1$ であるから、$c_2 = (1+r)s = (1+r)(1-c_1)$ となる。

これを効用関数に代入すると、

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U(c_1) = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln((1+r)(1-c_1))

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となる。$c_1$について最大化するため、微分して0とおく。

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\frac{dU}{dc_1} = \frac{0.7}{c_1} + \frac{0.3}{ (1+r)(1-c_1) } \cdot (-(1+r)) = \frac{0.7}{c_1} - \frac{0.3}{1-c_1} = 0

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\frac{0.7}{c_1} = \frac{0.3}{1-c_1}

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0.7(1-c_1) = 0.3 c_1

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0.7 - 0.7c_1 = 0.3c_1

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0.7 = c_1

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c_1 = 0.7

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ラグランジュ関数を使って解く方法もある。ラグランジュ関数は

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L(c_1, c_2, s, \lambda_1, \lambda_2) = 0.7\ln c_1 + 0.3\ln c_2 + \lambda_1 (1 - c_1 - s) + \lambda_2 (c_2 - (1+r)s)

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一階の条件は

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\frac{\partial L}{\partial c_1} = \frac{0.7}{c_1} - \lambda_1 = 0

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\frac{\partial L}{\partial c_2} = \frac{0.3}{c_2} + \lambda_2 = 0

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\frac{\partial L}{\partial s} = -\lambda_1 - (1+r)\lambda_2 = 0

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\frac{\partial L}{\partial \lambda_1} = 1 - c_1 - s = 0

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\frac{\partial L}{\partial \lambda_2} = c_2 - (1+r)s = 0

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\lambda_1 = \frac{0.7}{c_1}

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\lambda_2 = -\frac{0.3}{c_2}

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-\frac{0.7}{c_1} + (1+r) \frac{0.3}{c_2} = 0

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\frac{0.7}{c_1} = (1+r) \frac{0.3}{c_2}

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\frac{c_2}{c_1} = \frac{0.3}{0.7}(1+r)

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c_2 = \frac{3}{7}(1+r)c_1

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制約条件から

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1 = c_1 + s

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c_2 = (1+r)s

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s = \frac{c_2}{1+r}

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1 = c_1 + \frac{c_2}{1+r}

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1 = c_1 + \frac{ \frac{3}{7}(1+r)c_1 }{1+r}

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1 = c_1 + \frac{3}{7}c_1

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1 = \frac{10}{7} c_1

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c_1 = \frac{7}{10} = 0.7

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3. 最終的な答え

現在の消費 $c_1 = 0.7$