与えられた方程式 $x^2(y+1)^2 + y^2(x+1)^2 = 0$ を満たす実数 $(x, y)$ の組をすべて求める。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $x^2(y+1)^2 + y^2(x+1)^2 = 0$ を満たす実数 $(x, y)$ の組をすべて求める。

2. 解き方の手順

与えられた方程式は $x^2(y+1)^2(x - 1)^2 + y^2(x+1)^2(y-1)^2 = 0$ である。

左辺の各項はそれぞれ2乗の形であるため、いずれも0以上である。

したがって、$x^2(y+1)^2(x - 1)^2 = 0$ かつ $y^2(x+1)^2(y-1)^2 = 0$ が成り立つ必要がある。

まず、$x^2(y+1)^2(x - 1)^2 = 0$ より、$x=0$ または $y = -1$ または $x=1$。

次に、$y^2(x+1)^2(y-1)^2 = 0$ より、$y=0$ または $x = -1$ または $y=1$。

これらを組み合わせると以下のようになる。

(i) $x=0$ のとき、$y=0$ または $x = -1$ または $y=1$。$x=0$ より、$y=0$ または $y=1$。

したがって、$(0,0)$ または $(0,1)$。

(ii) $y=-1$ のとき、$y=0$ または $x = -1$ または $y=1$。$y=-1$ より、$x = -1$。

したがって、 $(-1, -1)$。

(iii) $x=1$ のとき、$y=0$ または $x = -1$ または $y=1$。$x=1$ より、$y=0$ または $y=1$。

したがって、$(1,0)$ または $(1,1)$。

以上より、候補は $(0,0), (0,1), (-1,-1), (1,0), (1,1)$ である。

与えられた式に代入して確認する。

$(0,0)$ を代入すると、$0 + 0 = 0$ となり成立する。

$(0,1)$ を代入すると、$0 + 1(1)^2(0) = 0$ となり成立する。

$(-1,-1)$ を代入すると、 $1(0)4 + 1(0)4=0$ より $0 = 0$ となり成立する。

$(1,0)$ を代入すると、$1(1)(0) + 0 = 0$ となり成立する。

$(1,1)$ を代入すると、$1(4)(0) + 1(4)(0) = 0$ となり成立する。

3. 最終的な答え

$(x, y) = (0, 0), (0, 1), (-1, -1), (1, 0), (1, 1)$