与えられた数式の値を求めます。数式は$\sqrt{21-\sqrt{21+\sqrt{80}}}$です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を求めます。数式は$\sqrt{21-\sqrt{21+\sqrt{80}}}$です。

2. 解き方の手順

まず、内側の根号から計算していきます。$\sqrt{80}$を簡単にします。

$\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = \sqrt{16} \times \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$

次に、$\sqrt{21 + 4\sqrt{5}}$ を計算します。$\sqrt{a+b\sqrt{c}}$の形をしているため、二重根号を外すことを考えます。

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

$(x+y\sqrt{5})^2 = x^2 + 2xy\sqrt{5} + 5y^2 = (x^2 + 5y^2) + 2xy\sqrt{5}$

ここで、$x^2 + 5y^2 = 21$ と $2xy = 4$ となるような $x$ と $y$ を探します。

$xy = 2$ なので、$x = \frac{2}{y}$ を $x^2 + 5y^2 = 21$ に代入します。

$(\frac{2}{y})^2 + 5y^2 = 21$

$\frac{4}{y^2} + 5y^2 = 21$

$4 + 5y^4 = 21y^2$

$5y^4 - 21y^2 + 4 = 0$

$y^2 = t$ とおくと、$5t^2 - 21t + 4 = 0$

$(5t - 1)(t - 4) = 0$

$t = \frac{1}{5}$ または $t = 4$

$y^2 = \frac{1}{5}$ または $y^2 = 4$

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$ または $y = \pm 2$

$y = 2$ のとき、$x = \frac{2}{2} = 1$

$y = \frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき、$x = 2\sqrt{5}$

このとき、$x^2 + 5y^2 = 1 + 5(4) = 21$ となり、$x = 1, y = 2$ が条件を満たします。

また、$x^2 + 5y^2 = (2\sqrt{5})^2 + 5(\frac{1}{5}) = 20 + 1 = 21$ となり、$x = 2\sqrt{5}, y = \frac{1}{\sqrt{5}}$も条件を満たします。

$\sqrt{21 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{(1+2\sqrt{5})^2} = 1+2\sqrt{5}$

$\sqrt{21 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2\sqrt{5}+1)^2} = 2\sqrt{5}+1$

したがって、$\sqrt{21-\sqrt{21+\sqrt{80}}}=\sqrt{21-(2\sqrt{5}+1)}=\sqrt{20-2\sqrt{5}}$

$\sqrt{20-2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}=\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}$

$a+b=20$

$ab=5$

$a(20-a)=5$

$20a-a^2=5$

$a^2-20a+5=0$

$a=\frac{20\pm\sqrt{400-20}}{2}=\frac{20\pm\sqrt{380}}{2}$

これは簡単にならないため、問題に誤りがあるか、もしくは他の解法が必要です。

$21+4\sqrt{5} = (2\sqrt{5}+1)^2$ より $\sqrt{21+4\sqrt{5}}=2\sqrt{5}+1$

$\sqrt{21 - \sqrt{21+\sqrt{80}}}=\sqrt{21 - (2\sqrt{5}+1)}=\sqrt{20 - 2\sqrt{5}}$

ここで，$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}=\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}$

とおくと，$a+b=20$，$ab=5$ を満たす有理数$a,b$は存在しない．

$\sqrt{21+4\sqrt{5}} = 4+\sqrt{5}$.

$\sqrt{21-\sqrt{21+4\sqrt{5}}}$ が整数にならない。

$\sqrt{80}=4\sqrt{5}$

$\sqrt{21+4\sqrt{5}}$が整数にならない。

3. 最終的な答え

問題文に誤りがある可能性があります。もし問題が正しいとすれば、$\sqrt{21 - \sqrt{21 + \sqrt{80}}}$をこれ以上簡単にすることはできません。