与えられた多項式を因数分解する問題です。多項式は $(a^2 + a)x^3 + (2a+1)x^2 -ax -1$ です。

1. 問題の内容

与えられた多項式を因数分解する問題です。多項式は

$(a^2 + a)x^3 + (2a+1)x^2 -ax -1$

です。

2. 解き方の手順

まず、多項式を整理します。

$(a^2 + a)x^3 + (2a+1)x^2 -ax -1 = a(a+1)x^3 + (2a+1)x^2 -ax -1$

次に、因数定理を用いて因数を見つけます。

$x = -1$ を代入すると

$a(a+1)(-1)^3 + (2a+1)(-1)^2 -a(-1) -1 = -a(a+1) + 2a+1 + a - 1 = -a^2-a+2a+1+a-1 = -a^2+2a = -a(a-2)$

$x = 1$ を代入すると

$a(a+1)(1)^3 + (2a+1)(1)^2 -a(1) -1 = a(a+1) + 2a+1 -a -1 = a^2+a+2a+1-a-1 = a^2+2a = a(a+2)$

明らかに簡単には因数が見つからなさそうなので、もう少し工夫してみます。

$a = -1$ のとき、

$(-1)(-1+1)x^3 + (2(-1)+1)x^2 -(-1)x -1 = 0 - x^2 + x - 1 = -(x^2-x+1)$

この場合は簡単な因数分解はできません。

$a = 0$ のとき、

$0x^3 + (2(0)+1)x^2 -0x -1 = x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

多項式を整理して書き直します。

$a(a+1)x^3 + (2a+1)x^2 -ax -1$

$(x+1)$で割り切れるか試してみます。

組み立て除法を行うと、

-1 | a(a+1) 2a+1 -a -1

| -a(a+1) -a+a(a+1) -a(a+1)+a-2a-1

--------------------------------------------

| a(a+1) a+1+a(a+1) -a(a+1)-a-1

割り切れるためには、

$-a(a+1) -a - 1 = -a^2 -a -a - 1 = -a^2-2a-1 = -(a+1)^2 = 0$

したがって、$a = -1$のとき、$(x+1)$で割り切れます。

$a = -1$ の場合、多項式は $-x^2 + x - 1$ になります。

これは因数分解できません。

もう一度、与えられた式をよく見ると、

$(a^2 + a)x^3 + (2a+1)x^2 -ax -1 = ax(a+1)x^2 + (2a+1)x^2 -ax -1$

$(ax+1)$で因数分解できると仮定して、

$(ax+1)(cx^2+dx-1)$とおきます。

$acx^3 + (ad+c)x^2 + (d-a)x -1 = a(a+1)x^3 + (2a+1)x^2 -ax -1$

$ac = a(a+1)$

$ad+c = 2a+1$

$d-a = -a$, つまり$d = 0$

$c = a+1$

$ad+c = a(0) + a+1 = a+1 = 2a+1$

$a = 0$

$a = 0$ の場合、多項式は $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

3. 最終的な答え

$a=0$のとき、$(x-1)(x+1)$