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与えられた行列 A, B, C, D について、以下の計算を行い、計算可能な場合は結果を、不可能な場合は×を記入する。 (1) A+B (2) A+C (3) AB (4) BC (5) DA (6) C+D 次に、行列 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ について、$AB = BA$ が成り立つかどうかを調べる。 最後に、$A \neq 0$ かつ $A^2 = 0$ となる 2 行 2 列の行列 A を見つける。

代数学行列行列の計算行列の和行列の積行列の積の交換性零行列
2025/5/15

1. 問題の内容

与えられた行列 A, B, C, D について、以下の計算を行い、計算可能な場合は結果を、不可能な場合は×を記入する。
(1) A+B
(2) A+C
(3) AB
(4) BC
(5) DA
(6) C+D
次に、行列 A=[0110]A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} と B=[01−10]B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} について、AB=BAAB = BA が成り立つかどうかを調べる。
最後に、A≠0A \neq 0 かつ A2=0A^2 = 0 となる 2 行 2 列の行列 A を見つける。

2. 解き方の手順

(1) A+B：行列の和を計算する。行列のサイズが同じである必要があり、各要素ごとに足し合わせる。
A+B = [2−1−25]+[1−5−2−1]=[3−6−44]\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ -2 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ -4 & 4 \end{bmatrix}
(2) A+C：行列の和を計算する。A は 2x2 行列で C は 2x3 行列なので、計算できない。答えは×。
(3) AB：行列の積を計算する。A は 2x2 行列で B は 2x2 行列なので、計算可能。
AB = [2−1−25][1−5−2−1]=[2∗1+(−1)∗(−2)2∗(−5)+(−1)∗(−1)(−2)∗1+5∗(−2)(−2)∗(−5)+5∗(−1)]=[4−9−125]\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ -2 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2*1 + (-1)*(-2) & 2*(-5) + (-1)*(-1) \\ (-2)*1 + 5*(-2) & (-2)*(-5) + 5*(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -9 \\ -12 & 5 \end{bmatrix}
(4) BC：行列の積を計算する。B は 2x2 行列で C は 2x3 行列なので、計算可能。
BC = [1−5−2−1][3−40212]=[1∗3+(−5)∗21∗(−4)+(−5)∗11∗0+(−5)∗2(−2)∗3+(−1)∗2(−2)∗(−4)+(−1)∗1(−2)∗0+(−1)∗2]=[−7−9−10−87−2]\begin{bmatrix} 1 & -5 \\ -2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -4 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1*3 + (-5)*2 & 1*(-4) + (-5)*1 & 1*0 + (-5)*2 \\ (-2)*3 + (-1)*2 & (-2)*(-4) + (-1)*1 & (-2)*0 + (-1)*2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & -9 & -10 \\ -8 & 7 & -2 \end{bmatrix}
(5) DA：行列の積を計算する。D は 2x3 行列で A は 2x2 行列なので、計算できない。答えは×。
(6) C+D：行列の和を計算する。C と D は同じサイズ(2x3)なので、計算可能。
C+D = [3−40212]+[−40115−1]=[−1−41361]\begin{bmatrix} 3 & -4 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -4 & 0 & 1 \\ 1 & 5 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -4 & 1 \\ 3 & 6 & 1 \end{bmatrix}
行列 A=[0110]A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} と B=[01−10]B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} について、ABAB と BABA を計算する。
AB=[0110][01−10]=[−1001]AB = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
BA=[01−10][0110]=[100−1]BA = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}
AB≠BAAB \neq BA
A≠0A \neq 0 かつ A2=0A^2 = 0 となる行列 A を見つける。例えば、 A=[0100]A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} とする。
A2=[0100][0100]=[0000]A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

3. 最終的な答え

(1) A+B = [3−6−44]\begin{bmatrix} 3 & -6 \\ -4 & 4 \end{bmatrix}
(2) A+C = ×
(3) AB = [4−9−125]\begin{bmatrix} 4 & -9 \\ -12 & 5 \end{bmatrix}
(4) BC = [−7−9−10−87−2]\begin{bmatrix} -7 & -9 & -10 \\ -8 & 7 & -2 \end{bmatrix}
(5) DA = ×
(6) C+D = [−1−41361]\begin{bmatrix} -1 & -4 & 1 \\ 3 & 6 & 1 \end{bmatrix}
AB≠BAAB \neq BA
A=[0100]A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

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