与えられた関数 $y$ を $x$ について微分する問題です。公式 3.1~3.4, 6.6 を用いて解くように指示されています。 具体的には、 (1) $y = (3x+1)\sin 2x$ (2) $y = \cos 6x \tan \frac{x}{2}$ (3) $y = \frac{\cos 4x}{x+1}$ の導関数を求めます。

はい、承知いたしました。画像の微分問題を解いていきます。今回は、(1), (2), (3)を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y$ を $x$ について微分する問題です。公式 3.1~3.4, 6.6 を用いて解くように指示されています。

具体的には、

(1) $y = (3x+1)\sin 2x$

(2) $y = \cos 6x \tan \frac{x}{2}$

(3) $y = \frac{\cos 4x}{x+1}$

の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = (3x+1)\sin 2x$ の場合:

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使用します。

$u = 3x+1$, $v = \sin 2x$ とおくと、

$u' = 3$, $v' = 2\cos 2x$ となります。

したがって、

$y' = (3x+1)'\sin 2x + (3x+1)(\sin 2x)'$

$y' = 3\sin 2x + (3x+1)(2\cos 2x)$

$y' = 3\sin 2x + 6x\cos 2x + 2\cos 2x$

(2) $y = \cos 6x \tan \frac{x}{2}$ の場合:

再び、積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使用します。

$u = \cos 6x$, $v = \tan \frac{x}{2}$ とおくと、

$u' = -6\sin 6x$, $v' = \frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}}$ となります。

したがって、

$y' = (\cos 6x)'\tan \frac{x}{2} + (\cos 6x)(\tan \frac{x}{2})'$

$y' = (-6\sin 6x)\tan \frac{x}{2} + (\cos 6x)(\frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}})$

$y' = -6\sin 6x \tan \frac{x}{2} + \frac{\cos 6x}{2\cos^2 \frac{x}{2}}$

(3) $y = \frac{\cos 4x}{x+1}$ の場合:

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使用します。

$u = \cos 4x$, $v = x+1$ とおくと、

$u' = -4\sin 4x$, $v' = 1$ となります。

したがって、

$y' = \frac{(\cos 4x)'(x+1) - (\cos 4x)(x+1)'}{(x+1)^2}$

$y' = \frac{(-4\sin 4x)(x+1) - (\cos 4x)(1)}{(x+1)^2}$

$y' = \frac{-4(x+1)\sin 4x - \cos 4x}{(x+1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 3\sin 2x + 6x\cos 2x + 2\cos 2x$

(2) $y' = -6\sin 6x \tan \frac{x}{2} + \frac{\cos 6x}{2\cos^2 \frac{x}{2}}$

(3) $y' = \frac{-4(x+1)\sin 4x - \cos 4x}{(x+1)^2}$