関数 $y = [\ln(2x^2+1)]^2$ の導関数を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = [\ln(2x^2+1)]^2$ の導関数を求める。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を用いる。まず、$u = \ln(2x^2+1)$ とおくと、$y = u^2$ となる。

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ である。

まず、$\frac{dy}{du}$ を求める。$y = u^2$ より、

$\frac{dy}{du} = 2u = 2\ln(2x^2+1)$

次に、$\frac{du}{dx}$ を求める。$u = \ln(2x^2+1)$ なので、さらに $v = 2x^2+1$ とおくと、$u = \ln v$ となる。

したがって、$\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$ である。

$\frac{du}{dv} = \frac{1}{v} = \frac{1}{2x^2+1}$

$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^2+1) = 4x$

よって、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2x^2+1} \cdot 4x = \frac{4x}{2x^2+1}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2\ln(2x^2+1) \cdot \frac{4x}{2x^2+1} = \frac{8x\ln(2x^2+1)}{2x^2+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{8x\ln(2x^2+1)}{2x^2+1}$