与えられた2つの三角関数の最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = \sin x - \cos x$ (2) $y = \sqrt{6} \sin x - \sqrt{2} \cos x$

1. 問題の内容

与えられた2つの三角関数の最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = \sin x - \cos x$

(2) $y = \sqrt{6} \sin x - \sqrt{2} \cos x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin x - \cos x$ について:

三角関数の合成を行います。

$y = R \sin(x + \alpha)$ の形に変換します。

$R = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

$\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\alpha = -\frac{\pi}{4}$

したがって、$y = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$

$\sin$ の最大値は1、最小値は-1であるため、

最大値は $\sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$

最小値は $\sqrt{2} \cdot (-1) = -\sqrt{2}$

(2) $y = \sqrt{6} \sin x - \sqrt{2} \cos x$ について:

三角関数の合成を行います。

$y = R \sin(x + \alpha)$ の形に変換します。

$R = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{6 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{2}$, $\cos \alpha = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\alpha = -\frac{\pi}{6}$

したがって、$y = 2\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{6})$

$\sin$ の最大値は1、最小値は-1であるため、

最大値は $2\sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2}$

最小値は $2\sqrt{2} \cdot (-1) = -2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\sqrt{2}$, 最小値: $-\sqrt{2}$

(2) 最大値: $2\sqrt{2}$, 最小値: $-2\sqrt{2}$