関数 $u(x, t) = f(x+at) + g(x-at)$ が与えられています。ここで、$f(x)$ と $g(x)$ は任意の関数です。この関数 $u(x, t)$ が偏微分方程式 $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ を満たすことを示す必要があります。

1. 問題の内容

関数 $u(x, t) = f(x+at) + g(x-at)$ が与えられています。ここで、$f(x)$ と $g(x)$ は任意の関数です。この関数 $u(x, t)$ が偏微分方程式 $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ を満たすことを示す必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$u(x, t)$ を $t$ で2回偏微分します。

$u(x, t) = f(x+at) + g(x-at)$

$\frac{\partial u}{\partial t} = f'(x+at) \cdot a + g'(x-at) \cdot (-a) = a f'(x+at) - a g'(x-at)$

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a f''(x+at) \cdot a - a g''(x-at) \cdot (-a) = a^2 f''(x+at) + a^2 g''(x-at) = a^2(f''(x+at) + g''(x-at))$

次に、$u(x, t)$ を $x$ で2回偏微分します。

$u(x, t) = f(x+at) + g(x-at)$

$\frac{\partial u}{\partial x} = f'(x+at) \cdot 1 + g'(x-at) \cdot 1 = f'(x+at) + g'(x-at)$

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = f''(x+at) \cdot 1 + g''(x-at) \cdot 1 = f''(x+at) + g''(x-at)$

したがって、

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2(f''(x+at) + g''(x-at)) = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

となるので、与えられた偏微分方程式を満たすことが示されました。

3. 最終的な答え

$u(x, t) = f(x+at) + g(x-at)$ は $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ を満たす。