$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}(2x)}{\tan(3x)}$ の極限値を求める。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}(2x)}{\tan(3x)}$ の極限値を求める。

2. 解き方の手順

$\sin^{-1}(2x)$ と $\tan(3x)$ はどちらも $x \to 0$ で 0 に近づくので、ロピタルの定理を使うことができる。

ロピタルの定理より、

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\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}(2x)}{\tan(3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} \sin^{-1}(2x)}{\frac{d}{dx} \tan(3x)}

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$\frac{d}{dx} \sin^{-1}(2x) = \frac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

$\frac{d}{dx} \tan(3x) = 3\sec^2(3x) = \frac{3}{\cos^2(3x)}$

よって、

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\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}}{\frac{3}{\cos^2(3x)}} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos^2(3x)}{3\sqrt{1-4x^2}}

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$x \to 0$ のとき、$\cos^2(3x) \to \cos^2(0) = 1$ および $\sqrt{1-4x^2} \to \sqrt{1-0} = 1$ であるから、

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\lim_{x \to 0} \frac{2\cos^2(3x)}{3\sqrt{1-4x^2}} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}

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あるいは、以下の極限を使う。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x} = 1$ および $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$

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\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}(2x)}{\tan(3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}(2x)}{2x} \cdot \frac{3x}{\tan(3x)} \cdot \frac{2x}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}(2x)}{2x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{3x}{\tan(3x)} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{2x}{3x}

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= 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}

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3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$