$x$, $y$, $z$ の間に函数関係があるとき、すなわち $f(x, y, z) = 0$ のとき、 $$ \left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)_z \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y = -1 $$ が成り立つことを示す問題です。

1. 問題の内容

$x$, $y$, $z$ の間に函数関係があるとき、すなわち $f(x, y, z) = 0$ のとき、

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\left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)_z \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y = -1

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が成り立つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

$f(x, y, z) = 0$ の全微分を考えます。

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df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z} dz = 0

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($\partial f / \partial x$, $\partial f / \partial y$, $\partial f / \partial z$ は、それぞれ、$f$ を $x$, $y$, $z$ で偏微分したものです。）

(1) $z$ を固定($dz = 0$)すると、

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\frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy = 0

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\left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)_z = - \frac{\partial f / \partial y}{\partial f / \partial x}

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(2) $x$ を固定($dx = 0$)すると、

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\frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z} dz = 0

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\left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x = - \frac{\partial f / \partial z}{\partial f / \partial y}

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(3) $y$ を固定($dy = 0$)すると、

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\frac{\partial f}{\partial z} dz + \frac{\partial f}{\partial x} dx = 0

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\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y = - \frac{\partial f / \partial x}{\partial f / \partial z}

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したがって、

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\left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)_z \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y = \left( - \frac{\partial f / \partial y}{\partial f / \partial x} \right) \left( - \frac{\partial f / \partial z}{\partial f / \partial y} \right) \left( - \frac{\partial f / \partial x}{\partial f / \partial z} \right) = -1

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となる。

3. 最終的な答え

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\left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)_z \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y = -1

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