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$\tan^{-1}x = \sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $x$ の値を求める問題です。

解析学逆三角関数tan⁻¹sin⁻¹三角関数方程式
2025/5/15

1. 問題の内容

tan⁡−1x=sin⁡−112\tan^{-1}x = \sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}} を満たす xx の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、sin⁡−112\sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}} の値を求めます。sin⁡θ=12\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} となる θ\theta を探すと、θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} がわかります。
よって、
sin⁡−112=π4\sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4}
したがって、与えられた方程式は次のようになります。
tan⁡−1x=π4\tan^{-1}x = \frac{\pi}{4}
次に、この式から xx の値を求めます。両辺のタンジェントをとると、
tan⁡(tan⁡−1x)=tan⁡π4\tan(\tan^{-1}x) = \tan\frac{\pi}{4}
tan⁡(tan⁡−1x)=x\tan(\tan^{-1}x) = x であり、tan⁡π4=1\tan\frac{\pi}{4} = 1 であるから、
x=1x = 1

3. 最終的な答え

x=1x = 1

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