与えられた積分を計算します。 $\int x e^{x^3} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int x e^{x^3} dx$

2. 解き方の手順

この積分は初等関数では表現できません。しかし、問題文に誤りがあり、$e^{x^2}$であるべきだと仮定すると、解くことができます。

仮定：積分は $\int x e^{x^2} dx$ である。

置換積分を用いる。$u = x^2$ とすると、$du = 2x dx$ より $x dx = \frac{1}{2} du$ となる。

したがって、積分は次のようになる。

$\int e^u \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du$

$e^u$ の積分は $e^u$ であるから、

$\frac{1}{2} e^u + C$

最後に、$u = x^2$ を代入する。

$\frac{1}{2} e^{x^2} + C$

元の問題の積分 $\int x e^{x^3} dx$ は初等関数では解けません。特殊関数を用いる必要があります。もし問題が間違っていて、 $\int x e^{x^2} dx$ を求めるのであれば、上記の手順で解くことができます。

3. 最終的な答え

問題が $\int x e^{x^2} dx$ であれば、最終的な答えは

$\frac{1}{2} e^{x^2} + C$

$\int x e^{x^3} dx$ の場合、初等関数では積分できません。