関数 $y = e^{-x^2}$ のグラフの概形を描く問題です。ただし、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ を用いてよいとされています。

## 問題210 (3)

1. 問題の内容

関数 $y = e^{-x^2}$ のグラフの概形を描く問題です。ただし、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ を用いてよいとされています。

2. 解き方の手順

(1) 定義域：

$e^{-x^2}$ は全ての $x$ で定義されるので、定義域は実数全体です。

(2) 対称性：

$y(-x) = e^{-(-x)^2} = e^{-x^2} = y(x)$ より、$y$ は偶関数なので、$y$ 軸に関して対称です。

(3) 軸との交点：

$x = 0$ のとき、$y = e^{-0^2} = e^0 = 1$ 。つまり、$(0, 1)$ で $y$ 軸と交わります。

$y = 0$ となる $x$ は存在しないので、$x$ 軸とは交わりません。

(4) 極限：

$\lim_{x \to \infty} e^{-x^2} = 0$

$\lim_{x \to -\infty} e^{-x^2} = 0$

よって、$x \to \infty$ および $x \to -\infty$ のとき、$y \to 0$ 。つまり、$x$ 軸が漸近線となります。

(5) 導関数：

$y' = -2xe^{-x^2}$

$y'' = (-2e^{-x^2}) + (-2x)(-2xe^{-x^2}) = (-2 + 4x^2)e^{-x^2} = 2(2x^2 - 1)e^{-x^2}$

(6) 増減表：

$y' = 0$ となるのは、$x = 0$ のとき。

$y'' = 0$ となるのは、$2x^2 - 1 = 0$ より、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき。

| x | $(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ | $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ | 0 | $(0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty)$ |

| ---------- | -------------------------------- | --------------------- | -------------------------------- | --- | -------------------------------- | -------------------- | -------------------------------- |

| y' | > 0 | > 0 | > 0 | 0 | < 0 | < 0 | < 0 |

| y'' | > 0 | 0 | < 0 | < 0 | < 0 | 0 | > 0 |

| y | 増加 | 変曲点 | 増加 | 1 | 減少 | 変曲点 | 減少 |

(7) 極値：

$x = 0$ で極大値 $y = 1$ をとります。

(8) 変曲点：

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ で変曲点をもちます。

$y = e^{-(\pm \frac{1}{\sqrt{2}})^2} = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0.6065$

3. 最終的な答え

グラフの概形は以下のようになります。

* 定義域：実数全体

* $y$ 軸に関して対称

* $(0, 1)$ で $y$ 軸と交わる

* $x$ 軸が漸近線

* $x = 0$ で極大値 $1$ をとる

* $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ で変曲点 $(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{e}})$ をもつ