(1) (a) 和 $A_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}$ を求めよ。 (b) 和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}k$ を求めよ。 (2) 和 $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1)

(a) 和 $A_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}$ を求めよ。

(b) 和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}k$ を求めよ。

(2) 和 $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) (a)

$A_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} = 1 - 1 + 1 - 1 + \dots + (-1)^{n-1}$

これは初項1、公比-1の等比数列の和である。

nが偶数のとき、$A_n = 0$

nが奇数のとき、$A_n = 1$

したがって、

$A_n = \begin{cases} 1 & (n \text{が奇数のとき}) \\ 0 & (n \text{が偶数のとき}) \end{cases}$

または、$A_n = \frac{1 + (-1)^{n-1}}{2}$

(1) (b)

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} k = 1 - 2 + 3 - 4 + \dots + (-1)^{n-1} n$

nが偶数のとき、$n = 2m$とすると

$S_n = (1-2) + (3-4) + \dots + (2m-1 - 2m) = \underbrace{-1 + (-1) + \dots + (-1)}_{m \text{個}} = -m = -\frac{n}{2}$

nが奇数のとき、$n = 2m+1$とすると

$S_n = (1-2) + (3-4) + \dots + (2m-1 - 2m) + (2m+1) = -m + (2m+1) = m+1 = \frac{n+1}{2}$

したがって、

$S_n = \begin{cases} \frac{n+1}{2} & (n \text{が奇数のとき}) \\ -\frac{n}{2} & (n \text{が偶数のとき}) \end{cases}$

(2)

$\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right)$

$\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{20} \left( \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{21 \cdot 22} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{462} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{231}{462} - \frac{1}{462} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{230}{462} = \frac{115}{462}$

3. 最終的な答え

(1) (a) $A_n = \begin{cases} 1 & (n \text{が奇数のとき}) \\ 0 & (n \text{が偶数のとき}) \end{cases}$

(1) (b) $S_n = \begin{cases} \frac{n+1}{2} & (n \text{が奇数のとき}) \\ -\frac{n}{2} & (n \text{が偶数のとき}) \end{cases}$

(2) $\frac{115}{462}$