問題1: ロピタルの定理を用いて、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan(x)}{x^3}$ を求めよ。 問題2: $f(x) = \sqrt{x}$ の場合に、平均値の定理が与える $c$ を求めよ。ただし区間は特に指定されていないので、 $[0, a]$ ($a>0$) とする。

1. 問題の内容

問題1: ロピタルの定理を用いて、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan(x)}{x^3}$ を求めよ。

問題2: $f(x) = \sqrt{x}$ の場合に、平均値の定理が与える $c$ を求めよ。ただし区間は特に指定されていないので、 $[0, a]$ ($a>0$) とする。

2. 解き方の手順

問題1:

ロピタルの定理は、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形である場合に、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が成り立つという定理です。

まず、与えられた極限が $\frac{0}{0}$ の不定形であることを確認します。

$x \to 0$ のとき、$x - \arctan(x) \to 0 - \arctan(0) = 0 - 0 = 0$ であり、$x^3 \to 0$ です。したがって、$\frac{0}{0}$ の不定形です。

ロピタルの定理を適用します。

$f(x) = x - \arctan(x)$ と $g(x) = x^3$ とおくと、

$f'(x) = 1 - \frac{1}{1 + x^2} = \frac{1 + x^2 - 1}{1 + x^2} = \frac{x^2}{1 + x^2}$

$g'(x) = 3x^2$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan(x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{1 + x^2}}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{3(1 + x^2)}$

$x \to 0$ のとき、$3(1 + x^2) \to 3(1 + 0) = 3$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{3(1 + x^2)} = \frac{1}{3}$

問題2:

平均値の定理は、関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続であり、開区間 $(a, b)$ で微分可能であるとき、

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$

を満たす $c$ が区間 $(a, b)$ に少なくとも1つ存在する、という定理です。

$f(x) = \sqrt{x}$ であり、区間を $[0, a]$ とします。

$f(x)$ は $[0, a]$ で連続であり、$(0, a]$ で微分可能です。

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

平均値の定理より、

$\frac{f(a) - f(0)}{a - 0} = f'(c)$

$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{0}}{a - 0} = \frac{1}{2\sqrt{c}}$

$\frac{\sqrt{a}}{a} = \frac{1}{2\sqrt{c}}$

$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{2\sqrt{c}}$

$2\sqrt{c} = \sqrt{a}$

$\sqrt{c} = \frac{\sqrt{a}}{2}$

$c = \frac{a}{4}$

$0 < \frac{a}{4} < a$ なので、$c$ は区間 $(0, a)$ に含まれます。

3. 最終的な答え

問題1: $\frac{1}{3}$

問題2: $c = \frac{a}{4}$