関数 $f(x)$ は $n$ 回微分可能である。多項式 $P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n$ が $P^{(k)}(0) = f^{(k)}(0)$ （$k = 0, 1, 2, \dots, n$）を満たすとき、$a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}$ となることを示す。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ は $n$ 回微分可能である。多項式 $P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n$ が $P^{(k)}(0) = f^{(k)}(0)$ （$k = 0, 1, 2, \dots, n$）を満たすとき、$a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}$ となることを示す。

2. 解き方の手順

まず、$P(x)$ を $k$ 回微分する。

$P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_kx^k + \dots + a_nx^n$

$P'(x) = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \dots + ka_kx^{k-1} + \dots + na_nx^{n-1}$

$P''(x) = 2a_2 + 3 \cdot 2 a_3x + \dots + k(k-1) a_kx^{k-2} + \dots + n(n-1)a_nx^{n-2}$

一般に、$k$ 回微分は、

$P^{(k)}(x) = \sum_{i=k}^{n} \frac{i!}{(i-k)!} a_i x^{i-k}$

ここで、$x=0$ を代入すると、$i=k$ の項だけが残り、$x^{i-k}=x^{k-k}=x^0=1$ となるため、

$P^{(k)}(0) = \frac{k!}{(k-k)!} a_k = k!a_k$

問題文より $P^{(k)}(0) = f^{(k)}(0)$ であるから、

$f^{(k)}(0) = k!a_k$

したがって、

$a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}$

3. 最終的な答え

$a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}$