与えられた方程式を解いて、$r$ の値を求めます。方程式は次の通りです。 $0 = -100 + \frac{40}{(1+r)} + \frac{50}{(1+r)^2} + \frac{40}{(1+r)^3}$

1. 問題の内容

与えられた方程式を解いて、$r$ の値を求めます。方程式は次の通りです。

$0 = -100 + \frac{40}{(1+r)} + \frac{50}{(1+r)^2} + \frac{40}{(1+r)^3}$

2. 解き方の手順

この方程式を解くには、まず $x = \frac{1}{1+r}$ と置き換えて、より扱いやすい形にします。すると、方程式は次のようになります。

$0 = -100 + 40x + 50x^2 + 40x^3$

これを整理して、

$40x^3 + 50x^2 + 40x - 100 = 0$

さらに、両辺を10で割ると、

$4x^3 + 5x^2 + 4x - 10 = 0$

この3次方程式を解く必要があります。数値解法を用いるか、または根の候補を試すことによって解を求めます。

$x=1$を代入すると$4 + 5 + 4 - 10 = 3 \neq 0$なので$x=1$は解ではありません。

$x=1.1$を代入すると、$4(1.1)^3 + 5(1.1)^2 + 4(1.1) - 10 = 4(1.331) + 5(1.21) + 4.4 - 10 = 5.324 + 6.05 + 4.4 - 10 = 15.774 - 10 = 5.774 > 0$

$x=1.0$の時に正の値を取るようになったので、値が大きすぎる。

$x=0.9$を代入すると、$4(0.9)^3 + 5(0.9)^2 + 4(0.9) - 10 = 4(0.729) + 5(0.81) + 3.6 - 10 = 2.916 + 4.05 + 3.6 - 10 = 10.566 - 10 = 0.566 > 0$

$x=0.9$の時に正の値を取る。

$x=0.8$を代入すると、$4(0.8)^3 + 5(0.8)^2 + 4(0.8) - 10 = 4(0.512) + 5(0.64) + 3.2 - 10 = 2.048 + 3.2 + 3.2 - 10 = 8.448 - 10 = -1.552 < 0$

$x=0.8$の時に負の値を取るので、解は0.8と0.9の間にある。

ここでは厳密解を求めることは難しいので、ここでは近似解として $x \approx 0.85$ とします。

$x = \frac{1}{1+r}$ より、$1+r = \frac{1}{x}$ なので、$r = \frac{1}{x} - 1$

$r = \frac{1}{0.85} - 1 \approx 1.176 - 1 = 0.176$

3. 最終的な答え

$r \approx 0.176$