$a$, $b$, $c$ は実数とする。次の条件のうち、$a=b$ と同値な条件をすべて選ぶ問題。 ① $a+c = b+c$ ② $a^2 = b^2$ ③ $(a-b)^2 = 0$

1. 問題の内容

$a$, $b$, $c$ は実数とする。次の条件のうち、$a=b$ と同値な条件をすべて選ぶ問題。

① $a+c = b+c$

② $a^2 = b^2$

③ $(a-b)^2 = 0$

2. 解き方の手順

① $a+c = b+c$ について:

両辺から $c$ を引くと、$a = b$ が得られる。したがって、$a+c = b+c$ は $a=b$ と同値である。

② $a^2 = b^2$ について:

$a^2 = b^2$ を変形すると、$a^2 - b^2 = 0$ となる。

これは $(a-b)(a+b) = 0$ と因数分解できる。

したがって、$a-b = 0$ または $a+b = 0$ となる。

つまり、$a=b$ または $a=-b$ である。

$a=-b$ の場合、$a=b$ とは限らないので、$a^2 = b^2$ は $a=b$ と同値ではない。

例: $a=2$, $b=-2$ のとき、$a^2 = 4$, $b^2 = 4$ であり、$a^2 = b^2$ だが、$a \neq b$ である。

③ $(a-b)^2 = 0$ について:

$(a-b)^2 = 0$ の平方根を取ると、$a-b = 0$ となる。

したがって、$a = b$ となる。

よって、$(a-b)^2 = 0$ は $a=b$ と同値である。

3. 最終的な答え

①と③が$a=b$と同値な条件である。

答え: ①, ③