問題は、$\begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & b \end{pmatrix}^2 = 3 \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & b \end{pmatrix}$ が成り立つとき、$a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、$\begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & b \end{pmatrix}^2 = 3 \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & b \end{pmatrix}$ が成り立つとき、$a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を計算します。

$\begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & b \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 2a & a + ab \\ 2 + 2b & 2a + b^2 \end{pmatrix}$

また、$3 \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3a \\ 6 & 3b \end{pmatrix}$

したがって、

$\begin{pmatrix} 1 + 2a & a + ab \\ 2 + 2b & 2a + b^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3a \\ 6 & 3b \end{pmatrix}$

このことから、以下の連立方程式が得られます。

\begin{align*} \label{eq:1} 1 + 2a &= 3 \\ a + ab &= 3a \\ 2 + 2b &= 6 \\ 2a + b^2 &= 3b \end{align*}

最初の式 $1 + 2a = 3$ から $2a = 2$ なので、$a = 1$ が得られます。

2番目の式 $a + ab = 3a$ より、 $1 + b = 3$ となるので、$b = 2$ が得られます。

3番目の式 $2 + 2b = 6$ から $2b = 4$ なので、$b = 2$ が得られます。

4番目の式 $2a + b^2 = 3b$ に $a = 1$ と $b = 2$ を代入すると、$2(1) + (2)^2 = 2 + 4 = 6$ であり、$3b = 3(2) = 6$ なので、式は成り立ちます。

よって、$a = 1$ となります。

3. 最終的な答え

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