与えられた式 $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ を展開して整理する。

## 問題1

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ を展開して整理する。

2. 解き方の手順

まず、$(x-1)(x-4)$ と $(x-2)(x-3)$ をそれぞれ展開する。

\begin{align*}

(x-1)(x-4) &= x^2 - 4x - x + 4 \\

&= x^2 - 5x + 4

\end{align*}

\begin{align*}

(x-2)(x-3) &= x^2 - 3x - 2x + 6 \\

&= x^2 - 5x + 6

\end{align*}

次に、これらの結果を掛け合わせる。

\begin{align*}

(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) &= (x^2 - 5x)^2 + 10(x^2 - 5x) + 24 \\

&= x^4 - 10x^3 + 25x^2 + 10x^2 - 50x + 24 \\

&= x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24

\end{align*}

3. 最終的な答え

$x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$

## 問題2

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)^2 + (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 + (a+b-c)^2$ を展開して整理する。

2. 解き方の手順

各項を展開する。

\begin{align*}

(a+b+c)^2 &= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \\

(b+c-a)^2 &= (b+c)^2 - 2a(b+c) + a^2 \\

&= b^2 + 2bc + c^2 - 2ab - 2ac + a^2 \\

&= a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2bc - 2ca \\

(c+a-b)^2 &= (c+a)^2 - 2b(c+a) + b^2 \\

&= c^2 + 2ca + a^2 - 2bc - 2ba + b^2 \\

&= a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ca \\

(a+b-c)^2 &= (a+b)^2 - 2c(a+b) + c^2 \\

&= a^2 + 2ab + b^2 - 2ca - 2cb + c^2 \\

&= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca

\end{align*}

これらの結果をすべて足し合わせる。

\begin{align*}

(a+b+c)^2 &+ (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 + (a+b-c)^2 \\

&= (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) \\

&+ (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2bc - 2ca) \\

&+ (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ca) \\

&+ (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca) \\

&= 4a^2 + 4b^2 + 4c^2

\end{align*}

3. 最終的な答え

$4a^2 + 4b^2 + 4c^2$