与えられた2つの式をそれぞれ計算する問題です。 1つ目の式は、 $(a+b+c)^2 + (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 + (a+b-c)^2$ 2つ目の式は、 $(a+2b+1)(a^2 - 2ab + 4b^2 - a - 2b + 1)$ です。

1. 問題の内容

与えられた2つの式をそれぞれ計算する問題です。

1つ目の式は、

$(a+b+c)^2 + (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 + (a+b-c)^2$

2つ目の式は、

$(a+2b+1)(a^2 - 2ab + 4b^2 - a - 2b + 1)$

です。

2. 解き方の手順

1つ目の式を展開して計算します。

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

$(b+c-a)^2 = b^2 + c^2 + a^2 + 2bc - 2ca - 2ab$

$(c+a-b)^2 = c^2 + a^2 + b^2 + 2ca - 2ab - 2bc$

$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca$

したがって、

$(a+b+c)^2 + (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 + (a+b-c)^2 = 4(a^2 + b^2 + c^2)$

2つ目の式を展開して計算します。

$(a+2b+1)(a^2 - 2ab + 4b^2 - a - 2b + 1) = a(a^2 - 2ab + 4b^2 - a - 2b + 1) + 2b(a^2 - 2ab + 4b^2 - a - 2b + 1) + 1(a^2 - 2ab + 4b^2 - a - 2b + 1)$

$= a^3 - 2a^2b + 4ab^2 - a^2 - 2ab + a + 2a^2b - 4ab^2 + 8b^3 - 2ab - 4b^2 + 2b + a^2 - 2ab + 4b^2 - a - 2b + 1$

$= a^3 + 8b^3 - 6ab + 1$

3. 最終的な答え

1つ目の式の答え: $4(a^2 + b^2 + c^2)$

2つ目の式の答え: $a^3 + 8b^3 - 6ab + 1$