数列$\{a_n\}$は初項が6、公差が3の等差数列であり、数列$\{b_n\}$は初項が3、公比が2の等比数列である。 (1) $a_2, a_3, b_2, b_3$ を求めよ。 (2) すべての $n \ge 4$ について $a_n < b_n$ となることを証明せよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$は初項が6、公差が3の等差数列であり、数列$\{b_n\}$は初項が3、公比が2の等比数列である。

(1) $a_2, a_3, b_2, b_3$ を求めよ。

(2) すべての $n \ge 4$ について $a_n < b_n$ となることを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列$\{a_n\}$の一般項は、$a_n = 6 + (n-1)3 = 3n + 3$ である。

等比数列$\{b_n\}$の一般項は、$b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ である。

$a_2 = 3(2) + 3 = 9$

$a_3 = 3(3) + 3 = 12$

$b_2 = 3 \cdot 2^{2-1} = 3 \cdot 2 = 6$

$b_3 = 3 \cdot 2^{3-1} = 3 \cdot 4 = 12$

(2)

数学的帰納法で証明する。

(i) $n=4$ のとき

$a_4 = 3(4) + 3 = 15$

$b_4 = 3 \cdot 2^{4-1} = 3 \cdot 8 = 24$

$a_4 < b_4$ が成立する。

(ii) $n=k$ ($k \ge 4$) のとき、$a_k < b_k$ が成立すると仮定する。つまり、$3k+3 < 3 \cdot 2^{k-1}$ が成立すると仮定する。

$n=k+1$ のとき、$a_{k+1} < b_{k+1}$ を示せばよい。

$a_{k+1} = 3(k+1) + 3 = 3k + 6$

$b_{k+1} = 3 \cdot 2^{(k+1)-1} = 3 \cdot 2^k$

$a_{k+1} = 3k + 6 = (3k+3) + 3 < (3 \cdot 2^{k-1}) + 3$ (帰納法の仮定より)

ここで、$k \ge 4$ より $2^{k-1} \ge 2^3 = 8$ であるから、$3 < 3 \cdot 2^{k-1}$ である。

よって、$a_{k+1} < 3 \cdot 2^{k-1} + 3 < 3 \cdot 2^{k-1} + 3 \cdot 2^{k-1} = 3 \cdot 2 \cdot 2^{k-1} = 3 \cdot 2^k = b_{k+1}$

したがって、$a_{k+1} < b_{k+1}$ が成立する。

(i), (ii) より、すべての $n \ge 4$ について $a_n < b_n$ が成立する。

3. 最終的な答え

(1) $a_2 = 9, a_3 = 12, b_2 = 6, b_3 = 12$

(2) すべての $n \ge 4$ について $a_n < b_n$ である（証明終わり）。