問題は、$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$ を計算せよ、というものです。

1. 問題の内容

問題は、$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$ を計算せよ、というものです。

2. 解き方の手順

まず、$x = a-b$, $y = b-c$, $z = c-a$ と置きます。

すると、$x + y + z = (a-b) + (b-c) + (c-a) = a - b + b - c + c - a = 0$となります。

$x + y + z = 0$ のとき、$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ が成り立つことを利用します。

これは、$x + y + z = 0$ より、$x + y = -z$ であるから、

$(x+y)^3 = (-z)^3$

$x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = -z^3$

$x^3 + y^3 + z^3 = -3x^2y - 3xy^2 = -3xy(x+y) = -3xy(-z) = 3xyz$

が導かれることから分かります。

したがって、

$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz = 3(a-b)(b-c)(c-a)$ となります。

3. 最終的な答え

$3(a-b)(b-c)(c-a)$