式 $(a^2 - ab + 2b^2)(a^2 + ab + 2b^2)$ を展開せよ。

はい、承知いたしました。画像にある問題の中から、問題14の(5) $(a^2 - ab + 2b^2)(a^2 + ab + 2b^2)$ を解きます。

1. 問題の内容

式 $(a^2 - ab + 2b^2)(a^2 + ab + 2b^2)$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

この式を展開するには、それぞれの項を分配して計算します。

まず、式を $(A - ab)(A + ab)$ の形に変形します。ここで、$A = a^2 + 2b^2$ です。

すると、式は $(a^2 + 2b^2 - ab)(a^2 + 2b^2 + ab)$ となります。

これは $(A - ab)(A + ab)$ の形なので、$A^2 - (ab)^2$ と展開できます。

$A^2 = (a^2 + 2b^2)^2 = (a^2)^2 + 2(a^2)(2b^2) + (2b^2)^2 = a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4$

$(ab)^2 = a^2b^2$

したがって、式は次のようになります。

$a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4 - a^2b^2$

これを整理すると、次のようになります。

$a^4 + 3a^2b^2 + 4b^4$

3. 最終的な答え

$a^4 + 3a^2b^2 + 4b^4$