数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ および $a_{n+1} = a_n + 2^n$ という条件を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ および $a_{n+1} = a_n + 2^n$ という条件を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

数列の漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2^n$ より、 $a_{n+1} - a_n = 2^n$ であることがわかる。これは数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $2^n$ であることを示している。

$n \geq 2$ のとき、$a_n$ は次のように表せる。

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k$$

ここで、$a_1 = 1$ であり、$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k$ は初項 $2$、公比 $2$、項数 $n-1$ の等比数列の和であるから、

$$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 2(2^{n-1} - 1)$$

したがって、

$$a_n = 1 + 2(2^{n-1} - 1) = 1 + 2^n - 2 = 2^n - 1$$

これは $n \geq 2$ のとき成り立つ。

$n=1$ のとき、$a_1 = 2^1 - 1 = 1$ となり、条件 $a_1 = 1$ を満たす。

したがって、この式は $n=1$ のときも成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^n - 1$