$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

分母に無理数があるので、分母を有理化します。分母の $\sqrt{2} - 1$ の共役な無理数 $\sqrt{2} + 1$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}$

分子を展開します。

$(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})(1) + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$

分母を展開します。

$(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$

よって、

$\frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{1} = 3 + 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$3 + 2\sqrt{2}$