$x^4 + 1$ を整式 $P(x)$ で割ったところ、商が $x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ で、余りが $17$ であった。このとき、$P(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$x^4 + 1$ を整式 $P(x)$ で割ったところ、商が $x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ で、余りが $17$ であった。このとき、$P(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

割られる式、割る式、商、余りの関係は、以下の式で表されます。

$$$$

(割られる式) = (割る式) \times (商) + (余り)

$$$$

この問題に当てはめると、以下のようになります。

$$$$

x^4 + 1 = P(x) \times (x^3 - 2x^2 + 4x - 8) + 17

$$$$

$P(x)$ を求めるために、上記の式を変形します。

$$$$

P(x) \times (x^3 - 2x^2 + 4x - 8) = x^4 + 1 - 17

$$$$

$$$$

P(x) \times (x^3 - 2x^2 + 4x - 8) = x^4 - 16

$$$$

さらに、両辺を $(x^3 - 2x^2 + 4x - 8)$ で割ると、$P(x)$ が求められます。

$$$$

P(x) = \frac{x^4 - 16}{x^3 - 2x^2 + 4x - 8}

$$$$

分子の $x^4 - 16$ は $(x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$ と因数分解できます。

分母の $x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ は $x^2(x - 2) + 4(x - 2) = (x - 2)(x^2 + 4)$ と因数分解できます。

したがって、

$$$$

P(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)}{(x - 2)(x^2 + 4)}

$$$$

$x - 2$ と $x^2 + 4$ を約分すると、

$$$$

P(x) = x + 2

$$$$

3. 最終的な答え

$P(x) = x + 2$