整式 $Q(x)$ を $x+1$ で割ると余りが $-3$ であり、$x-2$ で割ると余りが $3$ であった。$Q(x)$ を $x^2 - x - 2$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

整式 $Q(x)$ を $x+1$ で割ると余りが $-3$ であり、$x-2$ で割ると余りが $3$ であった。$Q(x)$ を $x^2 - x - 2$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

余りの定理より、$Q(-1) = -3$ かつ $Q(2) = 3$ である。$Q(x)$ を $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$ で割ったときの余りを $ax+b$ とおくと、

$$Q(x) = (x^2-x-2)P(x) + ax + b$$

と表せる。ここで、$P(x)$ は商である。

$x = -1$ を代入すると、

$$Q(-1) = (-1+1)(-1-2)P(-1) + a(-1) + b = -a + b$$

$Q(-1) = -3$ より、

$$-a+b = -3 \qquad (1)$$

$x = 2$ を代入すると、

$$Q(2) = (2+1)(2-2)P(2) + a(2) + b = 2a + b$$

$Q(2) = 3$ より、

$$2a+b = 3 \qquad (2)$$

(2) - (1) より、

$$(2a+b) - (-a+b) = 3 - (-3)$$

$$3a = 6$$

$$a = 2$$

(1) に $a = 2$ を代入すると、

$$-2 + b = -3$$

$$b = -1$$

したがって、余りは $2x-1$ である。

3. 最終的な答え

$2x-1$