与えられた連立一次方程式 $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 4 \\ 3 & -6 & 2 & 9 \\ 2 & -4 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ について、以下の問いに答えます。 (1) 係数行列を簡約化せよ。 (2) 連立一次方程式の解を求めよ。 (3) 求めた解について検算を実行せよ。

はい、承知いたしました。連立一次方程式の問題ですね。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 4 \\ 3 & -6 & 2 & 9 \\ 2 & -4 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

について、以下の問いに答えます。

(1) 係数行列を簡約化せよ。

(2) 連立一次方程式の解を求めよ。

(3) 求めた解について検算を実行せよ。

2. 解き方の手順

(1) 係数行列の簡約化

問題文中に簡約化の手順が記述されています。それに従って計算を進めます。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 4 \\ 3 & -6 & 2 & 9 \\ 2 & -4 & 0 & 2 \end{bmatrix} \xrightarrow{(2) + (1) \times (-3)} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & -3 \\ 2 & -4 & 0 & 2 \end{bmatrix} \xrightarrow{(3) + (1) \times (-2)} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & -6 \end{bmatrix}$

$\xrightarrow{(2) \times (-1)} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & -6 \end{bmatrix} \xrightarrow{(1) + (2) \times (-1)} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & -6 \end{bmatrix} \xrightarrow{(3) + (2) \times 2} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(2) 連立一次方程式の解

簡約化された行列から、以下の連立方程式が得られます。

$x - 2y + w = 0$

$z + 3w = 0$

よって、$x = 2y - w$, $z = -3w$ となります。$y$と$w$は任意の値をとることができるので、パラメータを用いて解を表すと、

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2y - w \\ y \\ -3w \\ w \end{bmatrix} = y \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + w \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}$

(3) 検算

求めた解を元の連立一次方程式に代入して検算を行います。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 4 \\ 3 & -6 & 2 & 9 \\ 2 & -4 & 0 & 2 \end{bmatrix} (y \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + w \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}) = y \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 4 \\ 3 & -6 & 2 & 9 \\ 2 & -4 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + w \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 4 \\ 3 & -6 & 2 & 9 \\ 2 & -4 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}$

$= y \begin{bmatrix} 1 \cdot 2 - 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 4 \cdot 0 \\ 3 \cdot 2 - 6 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 9 \cdot 0 \\ 2 \cdot 2 - 4 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \end{bmatrix} + w \begin{bmatrix} 1 \cdot (-1) - 2 \cdot 0 + 1 \cdot (-3) + 4 \cdot 1 \\ 3 \cdot (-1) - 6 \cdot 0 + 2 \cdot (-3) + 9 \cdot 1 \\ 2 \cdot (-1) - 4 \cdot 0 + 0 \cdot (-3) + 2 \cdot 1 \end{bmatrix}$

$= y \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + w \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

よって、求めた解は正しいことが確認できました。

3. 最終的な答え

(1) 簡約化された係数行列は

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(2) 連立一次方程式の解は

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix} = y \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + w \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}$ （$y, w$ は任意の実数）