円の中心Oを持つ円の中に図が描かれています。 (1)では、中心角が300°の扇形と、円周角$x$が与えられています。$x$の角度を求めます。 (2)では、直線ABとCDが平行で、BCが円の直径、$\angle OCD = 43^{\circ}$のとき、$\angle BAC = x$の角度を求めます。

1. 問題の内容

円の中心Oを持つ円の中に図が描かれています。

(1)では、中心角が300°の扇形と、円周角$x$が与えられています。$x$の角度を求めます。

(2)では、直線ABとCDが平行で、BCが円の直径、$\angle OCD = 43^{\circ}$のとき、$\angle BAC = x$の角度を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

中心角と円周角の関係を使います。中心角が300°であるとき、残りの中心角は$360^{\circ} - 300^{\circ} = 60^{\circ}$です。円周角$x$は、この中心角の半分になります。

$x = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$

(2)

BCが円の直径なので、$\angle BAC$は円周角であり、$\angle BAC = 90^{\circ}$です。

ABとCDが平行なので、$\angle ABC = \angle BCD$（錯角が等しい）

$\angle BOC = 2\angle BAC = 2x$ (中心角と円周角の関係)

$\angle OBC = \angle OCB$ (二等辺三角形)

$\angle BCD = \angle OCB = 43^{\circ}$

$\angle ABC = 43^{\circ}$

$\angle BAC + \angle ACB + \angle CBA = 180^{\circ}$ (三角形の内角の和)

$x + 43^{\circ} + 43^{\circ} = 180^{\circ}$

$x + 86^{\circ} = 180^{\circ}$

$x = 180^{\circ} - 86^{\circ} = 94^{\circ}$

しかし、$\angle BAC$は円周角で、$\angle BOC$は中心角であるため

$x = \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC$

$\angle BOC = 180 - \angle OCB$ を用いると

$\angle OCD=43^{\circ}$より$\angle OCB=43^{\circ}$. $\angle BOC = 180 - 43 = 137^{\circ}$.

$\angle BAC=x= \frac{180-43}{2} = \frac{137}{2}= 68.5^{\circ}$

円周角の定理より$\angle BOD= 2 \angle BAD$.

$\angle BCD= 43^{\circ}$ より $\angle ABC= 43^{\circ}$.

BCは直径なので $\angle BAC= 90^{\circ}$.

すると、$\angle BCA=90 - x$.

$\angle BCA+ \angle BCD = 90-x + 43$

3. 最終的な答え

(1) $30^{\circ}$

(2) $47^{\circ}$

$\angle OBC = \angle OCB = 43°$ なので $\angle BOC = 180° - 2(43°) = 180° - 86° = 94°$

$\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2}(94°) = 47°$

Final Answer: The final answer is $\boxed{47}$