直線 $y = -3x - 9$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $k$ だけ平行移動して原点を通るようにした直線 $l$ がある. (1) $k$ の値を求める。 (2) 直線 $l$ が円 $x^2 + y^2 - x - 3y + a + 2 = 0$ と接するとき, 定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

直線 $y = -3x - 9$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $k$ だけ平行移動して原点を通るようにした直線 $l$ がある.

(1) $k$ の値を求める。

(2) 直線 $l$ が円 $x^2 + y^2 - x - 3y + a + 2 = 0$ と接するとき, 定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $l$ の方程式を求める。平行移動後の直線は

$y - k = -3(x - 2) - 9$

$y = -3x + 6 - 9 + k$

$y = -3x - 3 + k$

直線 $l$ は原点を通るので, $x = 0, y = 0$ を代入すると

$0 = -3 \cdot 0 - 3 + k$

$k = 3$

(2)

(1) より, 直線 $l$ の方程式は $y = -3x$ である。

円の方程式は $x^2 + y^2 - x - 3y + a + 2 = 0$.

円の方程式を平方完成すると

$(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (y - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + a + 2 = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} - a - 2$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{10}{4} - a - 2$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{5}{2} - a - 2$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{1}{2} - a$

円の中心 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ と直線 $3x + y = 0$ の距離 $d$ は

$d = \frac{|3 \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2}|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|3|}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$

円の半径 $r = \sqrt{\frac{1}{2} - a}$

直線が円に接するので $d = r$

$\frac{3}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{1}{2} - a}$

$\frac{9}{10} = \frac{1}{2} - a$

$a = \frac{1}{2} - \frac{9}{10} = \frac{5}{10} - \frac{9}{10} = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $k = 3$

(2) $a = -\frac{2}{5}$