点 $P(3,8)$ を原点 $O$ を中心に回転させたときの座標を求める問題です。 (1) $\frac{\pi}{6}$ 回転 (2) $-\frac{3}{4}\pi$ 回転

1. 問題の内容

点 $P(3,8)$ を原点 $O$ を中心に回転させたときの座標を求める問題です。

(1) $\frac{\pi}{6}$ 回転

(2) $-\frac{3}{4}\pi$ 回転

2. 解き方の手順

点の回転の公式を利用します。点 $(x,y)$ を原点中心に $\theta$ 回転させた点の座標は $(x',y')$ で表され、以下の式で計算できます。

$x' = x \cos \theta - y \sin \theta$

$y' = x \sin \theta + y \cos \theta$

(1) $\theta = \frac{\pi}{6}$ のとき

$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

$x' = 3 \cos \frac{\pi}{6} - 8 \sin \frac{\pi}{6} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 8 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} - 4$

$y' = 3 \sin \frac{\pi}{6} + 8 \cos \frac{\pi}{6} = 3 \cdot \frac{1}{2} + 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} + 4\sqrt{3}$

(2) $\theta = -\frac{3}{4}\pi$ のとき

$\cos (-\frac{3}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (-\frac{3}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$x' = 3 \cos (-\frac{3}{4}\pi) - 8 \sin (-\frac{3}{4}\pi) = 3 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) - 8 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{8\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

$y' = 3 \sin (-\frac{3}{4}\pi) + 8 \cos (-\frac{3}{4}\pi) = 3 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 8 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{8\sqrt{2}}{2} = -\frac{11\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $(\frac{3\sqrt{3}}{2} - 4, \frac{3}{2} + 4\sqrt{3})$

(2) $(\frac{5\sqrt{2}}{2}, -\frac{11\sqrt{2}}{2})$