$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、$\tan \theta$ を $\sin \theta$ と $\cos \theta$ で表します。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ なので、

$\frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ となります。

したがって、

$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$

次に、右辺を通分します。

$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}$

三角関数の基本公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いると、

$\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$

ここで、$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ であることを利用すると、$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$ となります。

したがって、

$\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{1}{\frac{1}{2} \sin 2\theta} = \frac{2}{\sin 2\theta}$

$\frac{1}{\sin x} = \csc x$ を用いると、

$\frac{2}{\sin 2\theta} = 2 \csc 2\theta$

3. 最終的な答え

$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = 2 \csc 2\theta$

あるいは

$\frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$

あるいは

$\frac{2}{\sin 2\theta}$

あるいは

$\frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$

などがあげられます。

一般的に一番簡単なのは$\frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$です。