複素数 $z$ に対して、$|z|=1$ を満たす点の全体が表す図形と、$|z-1|=|z+1|$ を満たす点の全体が表す図形の交点を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に対して、$|z|=1$ を満たす点の全体が表す図形と、$|z-1|=|z+1|$ を満たす点の全体が表す図形の交点を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$|z|=1$ は複素数平面において原点を中心とする半径1の円を表します。

次に、$|z-1|=|z+1|$ は、点1と点-1からの距離が等しい点の集合を表します。これは、1と-1を結ぶ線分の垂直二等分線なので、実軸と直交する直線、つまり虚軸を表します。

したがって、$z=x+yi$ とすると、$|z-1|=|z+1|$ は $|(x-1)+yi|=|(x+1)+yi|$ となり、両辺を2乗すると $(x-1)^2 + y^2 = (x+1)^2 + y^2$ となります。これを整理すると $x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$ となり、$4x = 0$ より、$x = 0$ となります。よって、$z$ は純虚数です。

$|z|=1$ を満たす $z=x+yi$ に対して、$x^2 + y^2 = 1$ が成り立ちます。

$x=0$ を代入すると、$0^2 + y^2 = 1$ より、$y^2 = 1$ となり、$y = \pm 1$ を得ます。

したがって、$z = 0 + i$ と $z = 0 - i$ が交点の値となります。

3. 最終的な答え

$z = i, -i$